สถานะคนรอกับ Memoryless Property

เคยไหมครับที่ต้องอยู่ในสถานะคนรอ ไม่ว่าจะรอเธอหันมา รอเขาอ่านchat รอเขาตอบchat รอเขาดู IG stroy รอแฟนเธอเกมรอแคลมเธออยู่ รอเขามาจีบหรือแม้กระทั่งรอให้ตัวเองลืมใครสักคน...

ขอบคุณรูปเหงาๆจาก http://www.loverofsadness.net/sad_picture.php?id=236

เอาหละครับไม่ว่าเราจะอยู่ในสถานะคนรอของอะไรก็ตามสิ่งที่จึกที่สุดของการรอคือ การที่ว่าเรารอนานแค่ไหนก็เหมือนไม่มีความหมายเลย... มันเป็นการรอคอยที่รอไปก็ดูเหมือนจะไม่มีอะไรเกิดขึ้น (คนรอเจ็บเสมอ...)

เรื่องจึกๆแบบนี้มันก็มีเช่นกันในทางคณิตศาสตร์ เราเรียกมันว่า Memoryless Property (ไม่ใช่คุณสมบัติที่เรียนอะไรไปแล้วก็ลืมนะครับ !!) ซึ่งคุณสมบัตินี้จะมีให้เห็นได้ใน Geometric distribution และ Exponential distribution

Exponentail distribution

โดยปกติแล้วเรามักจะใช้ Exponentail distribution ในการ model ถึงระยะเวลาที่ต้องรอจนกว่าเหตุการณ์บางอย่างที่สนใจจะเกิดขึ้นซึ่งเราไม่รู้ว่าเหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้นเมื่อไหร่กันแน่

จริงๆแล้ว Exponentail distribution ก็คือวิธีการอธิบายพฤติกรรมของตัวแปรสุ่มวิธีหนึ่งผ่านการแจกแจงความน่าจะเป็นซึ่งในกรณีที่เราสนใจอยู่คือ ระยะเวลาที่เราอยู่ในสถานะคนรอ

ถ้าเรากำหนดให้ระยะเวลาที่เราอยู่ในสถานะคนรอแทนด้วย $X$ เราจะบอกว่า $X$ มีการแจกแจงความน่าจะเป็นด้วย Exponentail distribution หรือพฤติกรรมของมันเป็นไปตาม Exponentail distribution เมื่อ $X$ มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นคือ

$f_X(x;\lambda )=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x} & \text{for} \ x>0 \\ 0 & \text{for}\ x\leq 0 \end{matrix}\right.$

เมื่อ $\lambda > 0$

https://www.statisticshowto.datasciencecentral.com/exponential-distribution/

เราจะเห็นได้ว่ายิ่ง $\lambda$ มีค่ามากสิ่งที่เรากำลังรออยู่ก็มีแนวโน้มจะเกิดได้ไวขึ้น

Memoryless Property

ให้ $t > 0$ เป็นเวลา เราจะได้ว่าโอกาสที่เราต้องอยู่ในสถานะคนรอนานมากกว่าเวลา $t$ คือ

$\mathbb{P}(X>t)=\int_{t}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx=e^{-\lambda t}$

แล้วรอนานแค่ไหนก็เหมือนไม่มีความหมายเลยมันเป็นอย่างไร...
สมมติว่าเราอยู่ในสถานะคนรอมาแล้ว $s$ ปีแล้วเราสมมติให้ $Y$ เป็นระยะเวลาที่เหลือที่เราต้องรอเขา เราจะพบเรื่องเศร้าที่ว่าโอกาสที่เราจะหลุดออกจากสถานะคนรอมีค่าเท่าเดิมเลยไม่ว่าเราจะรอมาแล้วยาวนานแค่ไหน

$\begin{align*} \mathbb{P}(Y>t|X>s) &= \mathbb{P}(X>s+t|X>s)\\ &= \mathbb{P}(X>s+t,X>s)/\mathbb{P}(X>s)\\ &= \mathbb{P}(X>s+t)/\mathbb{P}(X>s)\\ &= e^{-\lambda(s+t)}/e^{-\lambda s}\\ &=e^{-\lambda t}\\ &=\mathbb{P}(Y>t) \end{align*}$

ก็อย่างที่เห็นครับ ความเจ็บปวดของคนรอก็งี้แหละตามหลักคณิตศาตร์

ปล1. หมดชีวิตใช้ไปเพื่อหวังและรอจนบางทีท้อและถอดใจ ว่ามันคงไม่มีรักจริงให้เราเจอถ้ามีจริงมันคงอยู่แสนไกล...

ปล2. ถ้าไม่อยากเป็นคนรอของเขามาเป็นคนคุยของเราได้นะ

ค้นหาบล็อกนี้

Almost Everywhere